Quest of Mathの日記： 一様収束(9)

D⊂Rの閉区間とする。関数列{fn}の任意の元fnは、

fn:D→R, fnは連続で、C^1級

という関数である。さらに、関数列{fn}が収束するようなxが存在して、
微分した関数列{f'n}はD上一様収束すると仮定する。
このとき、{fn}は連続で微分可能な関数fにD上一様収束し、
{f'n}はf'に各点収束することを証明せよ。

証明

[Quest of Math (20493)]

仮定から{f'n}はD上一様収束するので、ある写像gが存在して

∀ε＞0,∃N, n＞N ⇒ ∀x∈D, |f'n(x)-g(x)|＜ε

である。このことから、n,m＞Nであれば

|f'n(x)-f'm(x)|= |f'n(x)-g(x)-f'm(x)+g(x)|
≦ |f'n(x)-g(x)|+|f'm(x)-g(x)| ＜ 2*ε

である。

{fn}が収束するようなDの元をyとすると、
任意のx∈Dについて、区間[x,y]⊂Dがとれて、平均値の定理を用いれば、
あるz∈Dが存在して

|fn(x)-fm(x)-(fn(y)-fm(y))|/|x-y| = |f'n(z)-f'm(z)|
|fn(x)-fm(x)-(fn(y)-fm(y))| = |x-y|*|f'n(z)-f'm(z)|

ここで両辺に、|fn(y)-fm(y)|を足すと

|fn(x)-fm(x)-(fn(y)-fm(y))| + |fn(y)-fm(y)|=
|x-y|*|f'n(z)-f'm(z)| + |fn(y)-fm(y)|

左辺は

|fn(x)-fm(x)-(fn(y)-fm(y))| + |fn(y)-fm(y)|
≧ |fn(x)-fm(x)-(fn(y)-fm(y)) + fn(y)-fm(y)|
= |fn(x)-fm(x)|

となるので、

|fn(x)-fm(x)| ≦ |x-y|*|f'n(z)-f'm(z)| + |fn(y)-fm(y)|

右辺は仮定から収束するのだから、{fn}は||・||_{D}に関してCauchy列である。
したがって、{fn}は連続関数fに一様収束する。

また、m→∞とするとき、

|fn(x)-f(x)-(fn(y)-f(y))| ＜ |x-y|*2*ε

である。したがって、

|fn(x)-fn(y)-g(x)*(x-y)-(f(x)-f(y)-g(x)*(x-y))| ＜ |x-y|*2*ε

より、

|f(x)-f(y)-g(x)*(x-y)| ＜ |fn(x)-fn(y)-g(x)*(x-y)| + |x-y|*2*ε

さらに、

|fn(x)-fn(y)-g(x)*(x-y)|
= |fn(x)-fn(y)-f'n(x)*(x-y)+fn'(x)*(x-y)-g(x)*(x-y)|
≦ |fn(x)-fn(y)-f'n(x)*(x-y)| + |fn'(x)-g(x)|*|x-y|

であるので、微分可能の定義から、あるδ＞0が存在して

|x-y|＜δ ⇒ |fn(x)-fn(y)-f'n(x)*(x-y)| ＜ ε*|x-y|

であるので、|x-y|＜δであれば、

|f(x)-f(y)-g(x)*(x-y)| ＜ ε*|x-y| + ε*|x-y| + |x-y|*2*ε
= 4*ε*|x-y|

である。よって、微分可能の定義から、fは微分可能で、

f'(x)=g(x)

となり、証明された。