Quest of Mathの日記： 一様収束(10)

関数f:I→R (I=[a,b])が、I上連続であるとする。
Iの可算部分集合Uが存在して、fが(I-U)上微分可能で

f'(x)≦M (∀x∈(I-U),∃M)

となるとき、

f(b)-f(a)≦M*(b-a)

であることを証明せよ。

ただし、I-Uは、Uの補集合でかつIである集合のことをいう。

証明

[Quest of Math (20493)]

Uは可算集合より、Uの元に対して番号付けができる。

U={ui} (i∈N)
ただし、ui ＜ u_{i+1}

とする。さらに、u0=aとして、

Ai=(ui,u_{i+1})

とすると、

∪Ai (i∈N) = (a,u1)∪(u1,u2)∪...∪(np,b)
(あるp∈Nが存在しているように書いているが、
証明の便宜上あるだけで、無限であっても
見ればわかるが以下の証明には影響しない)

となる。fはI-U上微分可能であるので、平均値の定理を使うと、
あるci∈(ui,u_{i+1})が存在して

f(ui)-f(u_{i+1}) = f(ci)*(ui-u{i+1})

である。仮定から、

f(ci)*(ui-u{i+1}) ≦ M*(ui-u{i+1})

であるので、

f(ui)-f(u_{i+1}) ≦ M*(ui-u{i+1})

したがって、

f(a)-f(u1)+f(u1)-f(u2)+...-f(up)+f(up)-f(b)
≦ M*(a-u1+u1-u2+...-up+up-b)

であるので、

f(a)-f(b) ≦ M*(a-b)

となって、証明された。