Quest of Mathの日記： R^n上での微分・積分(2)

U⊂R^nを開集合、写像f:U→Rとする。
また、u=(u1,...,un)∈R^nについて

||u||_2 = √(u1^2 + u2^2 + ... + un^2) = 1

となるものとする。これは「単位ベクトル」である。

Duf(x) = lim (f(x+h*u)-f(x))/h (h→0,h≠0)

が存在するとき、これをfの「u方向微分」として定義する。

ここからが問題である。

写像f:R^2→Rを次のように定義する。

f(x,y) = x^2 + y^2

u=(1,0)とするとき、fのu方向微分Duf(x,y)を求めよ。

証明

[Quest of Math (20493)]

f(x,y) = x^2 + y^2
u=(1,0)

であるので、Duf(x,y)の定義から、

(f(x+h*1,y+h*0)-f(x,y))/h = (f(x+h,y)-f(x,y))/h
= ((x+h)^2+y^2 - (x^2+y^2))/h
= (x^2+2*h*x+h^2-x^2)/h
= (2*h*x+h^2)/h
= 2*x+h

したがって、h→0のとき、

(f(x+h*1,y+h*0)-f(x,y))/h → 2*x

よって、

Duf(x,y) = 2*x

である。