Quest of Mathの日記： R^n上での微分・積分(12)

U⊂R^nを開集合とする。写像f:U→Rが2階連続微分可能であるとする。

Δf = Σ(∂^2f(x))/(∂xi^2) (i:0～n)

と定義される「Δ」を、「Laplacian(ラプラシアン)」または
「Laplace(ラプラス)作用素」という。

fについて、U上で

Δf = 0

を満たすとき、fをU上の「調和関数」という。
また、「Δf = 0」を「Laplace方程式」という。

ここからが問題である。

f(x,y,z) = x^2 + y^2 - 2*z^2

は調和関数であることを証明せよ。

証明

[Quest of Math (20493)]

f(x,y,z) = x^2 + y^2 - 2*z^2

であるので、

(∂^2f(x))/(∂x^2) = 2
(∂^2f(x))/(∂y^2) = 2
(∂^2f(x))/(∂z^2) = -4

であるので、

Δf = 2+2-4 = 0

よってfは調和関数である。