GeoJの日記： benihitode氏のあれ

定義：
n　：　球の個数．3≦n．
s＝n・(n - 1) + 1　：　全ての球の合計．
q＝n - 1　：　特にqが素数pの冪の時，q＝p^kとする．
A _n　：　解集合の族．
A _n∋A_(n,i)={a_(n,i,0), a_(n,i,1), ..., a_(n,i,n-1)}　：　解集合．0≦i≦|A _n| - 1．
ただし，回転して合同な解は同一解，鏡像反転して合同な解は別解として扱うものとし，a(n,i,0)=1とする．
B _(n,i)　：　解A_(n,i)の部分和の列集合の族．
B _(n,i)∋B_(n,i,j)＝{b_(n,i,j,0), b_(n,i,j,1), ..., b_(n,i,j,n-1)}　：　解A_(n,i)の部分和の列集合．0≦j≦n-1．
ただし，b_(n,i,j,0)＝0，b_(n,i,j,l)＝∑_r＝0...l-1 a_(n,i,j+r)（添え字j+rはnを法とする）．

benihitode予想：
∀B_(n,i,j)に対してB _(n,i)∋p・B_(n,i,j)＝{p・b mod s | b∈B_(n,i,j)}．

以下、benihitode予想を正しいものと仮定する。

補題：
∀B _(n,i), 0＜∀t≦s-1に対してB_(n,i,j)∋tとなるB_(n,i,j)∈B _(n,i)が唯一つ存在する．

（補題の証明は解の部分和の定義から自明のため省略する．）

以後、補題よりB_(n,i,j)∋tとなるB_(n,i,j)∈B _(n,i)をB _(n,i)(t)と書く。すなわちB_(n,i,j)＝B _(n,i)(t)∈B _(n,i)

命題：
∃B _(n,i)，∃bでB _(n,i)(b)∋q・bならば，B _(n,i)(b)∋q²・b．

証明：
q・B _(n,i)(b)＝{q・t mod s | t∈B _(n,i)(b)}を考えると，B _(n,i)(b)∋bよりq・B _(n,i)(b)∋q・bである．
benihitode予想より、k回繰り返して適用するとq・B _(n,i)(b)＝p^k・B _(n,i)(b)∈B _(n,i)であり，補題よりq・bを含むB _(n,i)の元は唯一つしか存在しないので，B _(n,i)(b)＝q・B _(n,i)(b)．
したがって，B _(n,i)(b)∋q・bよりq・B _(n,i)(b)∋q²・bなので，B _(n,i)(b)∋q²・b　（証明終わり）．

結論：
定義よりq³＝1（mod s）であるので，任意の整数rに対してB _(n,i)(b)＝q^3r・B _(n,i)(b)である．
よって命題から，B _(n,i)(b)∋q・bならば，任意の整数rに対してB _(n,i)(b)＝q^r・B _(n,i)(b)である．
逆に，B _(n,i)(b) ∌ q・bならば，任意の整数rに対してB _(n,i)(b)≠q^3r±1・B _(n,i)(b)である．

このことは，部分和の列集合がq倍することで順に入れ替わる3つ組の列とq倍して自身に戻る孤立列とで構成されることを示す．このうちの孤立列は，さらにそこに含まれる部分和自体がq倍することで順に入れ替わる3つ組の値とq倍して自身に戻る孤立した値とで構成されることもわかる．

q倍して自身に戻るような値は0があるが，それ以外ではsが3の倍数の時にs/3及び2s/3が該当するのみ(sが9の倍数になることはないため)である．このsが3の倍数の場合とはn=3m+2となる場合であるため，孤立列は二つの孤立数を含まなければならない．この場合，0は必ず含まれるため，B _(n,i)(s/3)とB _(n,i)(2s/3)の二つが孤立列となり，残りはm組の三つ組の列となる．

逆にn=3mとなる場合は，唯一の孤立数の0が必ず含まれるため，残りの3m-1個の値は三つ組を構成できず孤立列は作られない．全てがm組の三つ組の列となる．

また，n=3m+1となる場合は，唯一の孤立数の0が必ず含まれ，残りの3m個の値は三つ組を構成して孤立列になることができる．列が3つ組を組むと一つ余ることから最低でも一つの孤立列が含まれることが分かるが，さらに3組単位で孤立列が含まれるかどうかについては今のところ不明である．なお，この場合はqが素数の冪乗になるためにはn=3^k+1にならなければならないので，もう少し特殊な戦略が存在する可能性もある．

孤立列の探索にはいくつか有利な点があるが，残りはまた後で．