GeoJの日記： その後の進展
定義：
前回までの定義に加えて以下を定義する．
C (n,i)＝{B＋c | B∈B(n,i), c∈ℤ} ： 解A(n,i)の部分和の列に法sの下で任意の整数を加えてできる列集合の族．
ただし，∀B∈B(n,i), ∀c∈ℤに対してB＋c＝{b＋c mod s | b∈B}とする．
定義からB (n,i)⊂C (n,i)となる．
特にB (n,i)＝{C∈C (n,i) | 0∈C}である．
また，|B (n,i)|＝n，|C (n,i)|＝Sである．
さらに，任意のx,y∈ℤ，x≠y mod sに対して，C (n,i)(x,y)＝B (n,i)(y－x mod s)＋xとすると，C (n,i)(x,y)∈x, yを満たすC (n,i)の元を一意に指定できる．
以下、前回と同様にbenihitode予想を正しいものと仮定する。
補題：
命題：
∀C (n,i)に対し，∃Cid (n,i)∈C (n,i)があって，Cid (n,i)＝q・Cid (n,i)．
証明：
∃m∈ℤがあってn＝3m+1又はn＝3m+2となる時，前回の結論からB＝q・Bとなる孤立列B∈B (n,i)が存在するのでCid (n,i)＝Bとなる．
したがって，n＝3mとなる時のみを証明すればよい．
任意のx,y∈ℤ，x≠y mod sに対して，前回の結論から，B (n,i)(y-x)は三つ組列の兄弟q・B (n,i)(y-x)＝B (n,i)(qy-qx)及びq2・B (n,i)(y-x)＝B (n,i)(q2y-q2x)を持つ．
それぞれ変形してC (n,i)(qx,qy)＝B (n,i)(qy-qx)＋qx＝q・B (n,i)(y-x)＋qx，C (n,i)(q2x,q2y)＝B (n,i)(q2y-q2x)＋q2x＝q2・B (n,i)(y-x)＋q2xと書ける．
したがって，q・C (n,i)(x,y)＝C (n,i)(qx,qy)，q2・C (n,i)(x,y)＝C (n,i)(q2x,q2y)である．
C (n,i)(x,y)≠C (n,i)(qx,qy)であれば，C (n,i)(x,y)，C (n,i)(qx,qy)，C (n,i)(q2x,q2y)は三つ組列を形成する．
ここで，C (n,i)がすべて三つ組列であるとすると，C (n,i)の元の個数は3の倍数になるはずだが，実際には|C (n,i)|＝3m(3m-1)+1なので矛盾する．
ゆえにC (n,i)(xid,yid)＝C (n,i)(qxid,qyid)となるC (n,i)(xid,yid)∈C (n,i)が一つ以上存在しなければならない．
この時，Cid (n,i)＝C (n,i)(xid,yid)となる（証明終わり）．
結論：
命題より，すべての解のそれぞれに対してC=q・Cとなる拡張部分和列が一つ以上存在することになる．
言いかえれば，C=q・Cとなるすべての拡張部分和列を探索すれば，すべての解を網羅できることが（benihitode予想の下に）証明できた．
その後の進展 More ログイン