Quest of Mathの日記： 変換公式(7)

U⊂R^nを開集合とする。単射な連続写像f:U→R^nとする。
D⊂Uとなる任意の立方体Dについて、

Vol(f(D)) = ∫d_f(x) dx (積分範囲:D)

となるとき、fは「密度関数d_fを持つ」という。

ここからが問題である。

U,V⊂R^nを開集合とする。同相写像f:U→Vが密度関数d_fを持つとする。
写像g:V→R∪{∞,-∞}が可積分であるとき、

g(f(x))*d_f(x)

もU上可積分で、

∫g(y) dy (積分範囲:f(U)) = ∫g(f(x))*d_f(x) dx (積分範囲:U)

であることを証明せよ。