Quest of Mathの日記： L^p空間とソボレフ空間(1)

U⊂R^nを開集合とする。p≧1 (p∈R)とする。

L^p(U) = {可測関数f:U→R∪{∞,-∞},|f|^pがU上可積分である関数の同値類}

と定義する。f∈L^p(U)であるとき、

||f||_{L^p(U)} = (∫|f(x)|^p dx)^(1/p)

と定義する。

これをさらに拡張して、写像F=(f1,...,fm):U→(R∪{∞,-∞})^mについても考える。
ただし、f1,...,fm∈L^p(U)とする。このとき、

||F||_{L^p(U)} = (Σ(||fi||_{L^p(U)})^p (i:1～m))^(1/p)

と定義する。

ここからが問題である。

上の定義において、任意のf∈L^p(U)について、

(1) ||f||_{L^p(U)} ≧ 0
(2) ||f||_{L^p(U)} = 0 ⇔ fは零関数

であることを証明せよ。