Quest of Mathの日記： L^p空間とソボレフ空間(2)

可測関数f:U→R∪{∞,-∞}に対して、

ess sup f(x) (x∈U) = inf{a∈R∪{∞} | ほとんどすべてのx∈Uでf(x)≦a}

ess inf f(x) (x∈U) = sup{a∈R∪{∞} | ほとんどすべてのx∈Uでf(x)≧a}

と定義する。ess sup f(x)を本質的上限、ess inf f(x)を本質的下限という。

さらに、

||f||_{L^∞(U)} = ess sup |f(x)| (x∈U)＜ ∞

と定義して、L^∞(U)を||f||_{L^∞(U)}＜∞を満たす可測関数の同値類の集合とする。

ここからが問題である。

(1) ||f||_{L^∞(U)} ≧ 0
(2) ||f||_{L^∞(U)} = 0 ⇔ fが零関数

であることを証明せよ。