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1490303 journal
数学

SS1の日記: 天地不明察 1

日記 by SS1

今、アフタヌーンで連載しているマンガ。天地明察がおもしろい。現在のストーリーは、江戸時代に日本の天文学を復興することになる渋川春海が、算術家の関孝和に和算の設問をしたが、それに誤りがあって大ショックを受ける。というところ。

作図された問題なのでマンガだとわかりやすくていいんだけど、気になったのが、「誤り」を正した元の答えがいくつなのか? ということ。作中では「径矢弦の法を使えば解ける」とかいうんだけど、まあ、ふつーに解いてみようかとおもって。

作図の誤りを直すと、いわゆる「三平方の定理」で解ける問題で、直角二等辺三角形の長辺が、7分の30寸。でもって、短辺と、それに直角のところから垂線を引いて、そのまた短辺との差を求めればよい。はず。

でまあ、計算してみましたですよ・・・ 式は、こんなかんじ。

 (√2-1)*15/7  …式1

で、√2って、算学ではどう記述すんだろうとか・・・ もう、「平方根」とかあったのかな。それに設問で有理数を使っているので、答えも有理数で・・・ と思ったが、無理数の答えは、半紙に書けないと思われ。それに、√2って、当時はどうやって計算するんだろう・・・とか。ここから、脱線して√2を計算する方法を考えてみた。

えーと。√2ってのは、

2=x2 …式2

だから、この式2をいじって、追い込む方法を考える。

式2は、交換法則をつかうと、

x=2/x …式3

とできる。んで、式3から、

{ y=x、 y=2/x } …式4

という関数を作って、グラフにプロットすると、双曲線と斜めの直線のグラフになる。これの交点を求めれば√2になるわけだ。

んでまあ、けっこう苦労したりしたんだけども、次のような性質を利用して式を立てればいい。

0 < x < √2 のときは、 0 < 2/x - x  で、
√2 < x ≦ 2 のときは、 0 > 2/x - x  なので、

x1 = 1
xn+1 = xn + (2/xn - xn)/2 …式5

みたいな、数列を作れば√2に収束する。 式5の最後2で割るのは、こうしないと発散しちゃうため。xの逆数を求めるのがウザイが、まあ、答えが有理数でよければ、分数の天地を入れ替えるだけなので・・・

というところで、√2の計算で燃え尽きた。ので、渋川春海の答えを出すところまでやってないんですが、このやりかただと「径矢弦の法」というより、ニュートン法だよねぇ・・・とか。 作品の舞台は1661年とのことで、まだニュートン生まれてないよねぇ・・・だし。いったいどうやって、答えを求めたんだろう・・・ などと。

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吾輩はリファレンスである。名前はまだ無い -- perlの中の人

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