domax 曰く、

私のWin10の環境だけかもしれないが、昨日8/21にfirefoxを55.0.2にアップデートしてからおかしい。

1. 右上の閉じるボタンで終了しない。
　こちらは今も直らず。一旦アイコンにして、タスクトレイから終了させれば終わる。
2. 再起動後、ALT+キーが効かなくなる
　その他のメニューも動作しなくなる。こちらは一度、管理者モードで起動すると直る。
3. 再起動後、パスワードの補完が効かなくなる
　Profileが読めなくなって、セキュリティモードで動いている感じ。
　こちらも一度、管理者モードで起動すると直る。

32bitモードだけかと思い、64bit版に切り替えてみたが現象変わらず。
firefoxのProfileフォルダを調べてみたが、私のアカウントでフルコントロールが与えられていた。

取り合えず謎だが、何とか仕事にはなる状態に持って行けたので良しとする。