okkyの日記： Σ(x=10..12)x^2 = Σ(y=13,14)y^2=365

まず、2つの整数 a, b について

a^2 + (a+1)^2 + (a+2)^2 = b^2 + (b+1)^2

と考えるのではなく、

a^2 + (a+1)^2 + (a+2)^2 = (a+b)^2 + (a+b+1)^2

と考えます。つまり右側の2つの数字というのは「a から b だけ離れた数からはじまる2つの連続数の平方和」とする。たとえばTitle の数式は b=3 なわけ。
こうすると、たとえば b=3 の場合について a を解くことができて、

a^2 + (a+1)^2 + (a+2)^2 = (a+3)^2 + (a+3+1)^2
  = a^2+6a+9+(a+1)^2+6(a+1)+9

a^2と(a+1)^2が消えるので

(a+2)^2 = 6a+9+6(a+1)+9
a^2+4a+4 = 12a+24
a^2-8a-20=0
a=10 or -2

とまぁ、このように答が出る。

でまぁ、上の a, b の式を一般的に解く事を考える。aとbについての双曲線になることは式から何となくわかる。うむ。では WolframAlpha先生のお出ましだっ.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2%2B(x%2B1)%5E2%2B(x%2B2)%5E2%3D(x%2By)%5E2%2B(x%2B1%2By)%5E2

WolframAlpha先生によると整数解は一般には4つ発生しうるらしい。nを自然数としてなんか「５±2*√6」がややこしく絡んだ式が４つ出てきた。

これを解きまくればよいらしい。別の言い方をすると、解は無限にある、ということだ。