何がやっかいかと言って、9/0 の答えになるもの a が存在するとすると、 0 × a = 9 ということで、その得体の知れないものと、実数（0）を掛け合わせた結果が実数になってしまうと言うところでして。
虚数 i は、それに（0 以外の）実数をかけても実数にはならない。ということで、実数の世界に影響を与えずに虚数が存在できた。
0 × a = 9 だとすると、
2 × （0 × a) = 2 × 9 = 18
(2 × 0) × a = 0 × a = 9
おや、結合法則が使えない。
そうすると、a が入り込むだけで、実数の世界は体（数学用語の「体」・ていではない）をなさなくなってしまう。
実数の世界ががたがたに……。
といううのがもう、困ったことであります。
ルールはルールで上書きされる (スコア:1)
解なしと言ってる人の中に「そう決まってるから」「数学のルールだから」という根拠（？）をあげている人が多くて閉口しました。ルールだというなら「0でわったら0になる」というルールで上書きされても仕方ない。
∞とか極限がどうとかいうのも的外れだし。
#複素平面なら話は別。
Re:ルールはルールで上書きされる (スコア:2)
ルールを追加したり変えたりして数学を構築することができるでしょうけど、
ルールが矛盾すれば数学にならないですよね。
0で割ると0になるというルールはいろいろと矛盾を生じるので、そこは上書きできない
ということで批判されてるんじゃないでしょうか。
もっとも、そもそもソースがTwitterとブログ1つってのが難ですね。実際のところがどうのか
よくわかりません。
Re:ルールはルールで上書きされる (スコア:2)
「数学では自乗してマイナスになる数（本当は実数は）ないことになっている。
でも、自乗してマイナスになる「虚数」を導入して、領域を拡張した。
同じように、「数学ではゼロで割れないことになっている」のなら、ゼロで割った結果になる数字を導入して領域を拡張できないのか？」
という質問を見かけたことがあって、目の付け所はいいよなと思いました。
実際には、ゼロで割った結果というのを付け加えると、実数の演算が困ったことになるので、拡張できないということになるのですが。
端的には、a×b = 0 故に、少なくとも一方はゼロという論法が使えなくなってしまいまうのは困りものですし。
あ、だから、「ルールだから」というのを唯一の理由として「だめ」と主張するのが変だよというのは、まさにその通りだと思います。
¶「だますのなら、最後までだまさなきゃね」/ 罵声に包まれて、君はほほえむ。
Re:ルールはルールで上書きされる (スコア:1)
虚数 i は、それに（0 以外の）実数をかけても実数にはならない。ということで、実数の世界に影響を与えずに虚数が存在できた。
0 × a = 9 だとすると、
2 × （0 × a) = 2 × 9 = 18
(2 × 0) × a = 0 × a = 9
おや、結合法則が使えない。
そうすると、a が入り込むだけで、実数の世界は体（数学用語の「体」・ていではない）をなさなくなってしまう。
実数の世界ががたがたに……。
といううのがもう、困ったことであります。
¶「だますのなら、最後までだまさなきゃね」/ 罵声に包まれて、君はほほえむ。
Re:ルールはルールで上書きされる (スコア:1)
>9/0 の答えになるもの a が存在するとすると、 0 × a = 9 ということで
ではさらに，乗算と除算が逆演算では無いということに拡張して(以下略)
#どんどん歪にはなっていくけど出来なくはない……気もする。
Re: (スコア:0)
x数学用語の「体」・ていではない
○数学用語の「体」・たいではない
有限体 は ゆうげんたい とよむよね?
Re:ルールはルールで上書きされる (スコア:1)
すでに、コメントも付いていますが……。
これを書いているときに、「体をなさない（ていをなさない）」と、普通に読めてしまうな、というところに気づきまして、気の利いた補足を付けたつもりだったのですが、ご指摘の通り、誤解を招く書き方でした。
¶「だますのなら、最後までだまさなきゃね」/ 罵声に包まれて、君はほほえむ。
Re: (スコア:0)
数学用語の「体」、つまり、「てい」ではない
と書きたかったんでしょうね。「・」の意味が紛らわしいですけど。
Re: (スコア:0)
ああそうか。有限体の体か。
「ていではない」の部分は書かなけりゃ良かったのに。
Re: (スコア:0)
「体」（数学用語で「たい」と読む。決して「てい」ではない）
くらい書いておけば誤解されないで済むかも。まあ、ちょっとくどいが。
Re: (スコア:0)
a は実数じゃないんだよね。なら実数の世界は壊れないんじゃないかな。
得体の知れない a と実数の積が実数になると定義しても、矛盾がなければ矛盾はない(?)。
矛盾なく定義できれば、a を導入した体系を作るのもできなくはない。
問題は、それが何の役にも立たないってこと。
代数学の基本定理によって虚数があれば任意の多項式が解けるという極めて重要な性質があるし、
信号処理なんかへの応用もあるから、虚数は実際に役に立つ。
それに対し、a を導入したその系が役に立ちそうな場面は見当たらない。
もし a が有用な場面が見つかれば数学史に名を残す発見になるかもしれないので、
Re:ルールはルールで上書きされる (スコア:1)
虚数は単に「数を拡張してみました」だけではなく、お書きのようにこれ自体が有用だったのはお書きの通りです。
で、例えば、0 × k(n) = n となるような、数 k(n) を定義すると、（k の命名には特に意味がありません） 0 以外の実数と掛け合わせてもそれは、実数にはならないです。
で、0と掛け合わせたときに、一律0になってくれると、まだ助かるのですが、0ではないものになるので、ここで、実数の世界にちょっかいを出してきたような記憶が残っています。
かといって、実数との演算を「全くなし」にしてしまうと、0 × k(n) = n という定義自体が無意味になりますし。
実数との乗算が成立して、分配法則を仮定すると、 k(a) + k(b) = k(a + b) なんかは簡単に導けて、なんか、ベクトル空間ができるのではないかと思ったところで、結合法則でこけて、にっちもさっちもいかなくなったという、そういう記憶があったりします。
¶「だますのなら、最後までだまさなきゃね」/ 罵声に包まれて、君はほほえむ。
アンタッチャブルな質問 (スコア:1)
私が小学生の頃は、日清戦争以降の日本史のように全く触れませんでした。
でも、クラスメイト同士で件の疑問が出て、話し合った結果その場で小学生なりの結論が出ました。
「数学のルールだから」という根拠（？）をあげている人が多くて閉口しました。
そう。私もその後中2になって、頭のいい生徒に「割ってはいけないことになっている説」を押しつけられ困惑した覚えがあります。
数学初学者の三大疑問（と勝手に定義）のうち2つ
「負の数どうしの積」 は小学生にも力業で説明できるし、
「1=0.99999……」 は高校に入れば自力で証明できるけど、
0除算だけは大学レベルの知識が要るんだよねえ。ま、右極限と左極限を使った説明でもいいのかもしれないけどさ。
# 0で割れない理由に、
# ①0で割ってもよいことにする。 ②a/0=b (a,b≠0) …… 以下略
# の手順を持ち出す先生に当たってしまった俺ってどんだけ不幸な星の下に生まれたんだろうか。
Re: (スコア:0)
まったくのオフトピだけど、歴史って過去から教えるんじゃなく、現在からさかのぼって教えるべきだと思うんだよねえ
Re: (スコア:0)
> 0除算だけは大学レベルの知識が要るんだよねえ。ま、右極限と左極限を使った説明でもいいのかもしれないけどさ。
「0で割れない」というのは割り算の定義からダイレクトにでてきます。
> # 0で割れない理由に、
> # ①0で割ってもよいことにする。 ②a/0=b (a,b≠0) …… 以下略
> # の手順を持ち出す先生に当たってしまった俺ってどんだけ不幸な星の下に生まれたんだろうか。
いやいやいやいや、これが正しい理由ですよ。
数 "a/b" の定義は「b x = a を満たす x」です。
b = 0 のとき、a ≠ 0 ならば、そのような x は存在せず、
a = 0 ならば、どのような x でも等式を満たしてしまうので、
a/0 を定義できない、ということです。
Re: (スコア:0)
これはダウトかなあ。極限を用いた証明のことを言っているのなら、その証明が厳密に正当であることは、実数の定義（基本性質）と極限の定義の両方に依存する話なので、両方を厳密に理解するには大学レベルの知識が必要です。実際、ちゃんと「1≠0.99999……」となる無矛盾な体系が（実数とは別に）存在して、そこでは先の「証明」の一部がちゃんと破綻します。
Re: (スコア:0)
#2279553が意図していることは、中学生レベルだと思う。
1/9=0.111.....
1/3=0.333.....
1=0.999.....
Re: (スコア:0)
なにがどう仕方ないんだ
Re:ルールはルールで上書きされる (スコア:1)
ルールだったら従います，って人なんだから，仕方ないでしょ。
Re: (スコア:0)
先に制定されたルールがあるのに無根拠に「上書きされても仕方ない」ていわれましても
Re:ルールはルールで上書きされる (スコア:1)
実際「解がないから0と書くんだ」と教えられたという話は何件か目にしています。
Re: (スコア:0)
「無＝0」という固定観念に凝り固まってるせいで、本当にそう教わったと思い込んでる人が結構いるみたいですね。本来なら「undefined（＝定義しない）」と定義されているという説明になるんですが、そう言うと今度は言葉遊び（定義してるじゃん、とか定義すればいいじゃんとか）が始まるという救えない状況も何度も見ました。
Re:ルールはルールで上書きされる (スコア:1)
偉きゃ黒でも白になるう
そんな世界のルールですから上書きされることもまたルールですっ
♯僕の人生も上書きしてください
Re: (スコア:0)
ルールじゃなくて、論理的な根拠があるからです。
そこを天下りにルールだとか言う人は、
この小学校でのルールと結局並のレベルは一緒と言うこと。
Re:ルールはルールで上書きされる (スコア:2)
「ルール」も「根拠」も、数学っぽくないというか違和感あります。
どうせ言うなら、少なくとも「公理」やら「定義」といえば、
公理は本来好きに捨てたり採用したりしていいものですからいけそうですけれど。
たまたま小学校では、除算は(R,R-{0})だけで定義するというだけの話。
新人。プログラマレベルをポケモンで言うと、コラッタぐらい
Re: (スコア:0)
で、実際に上書きできるの？
はやく上書きしてよｗ
「0でわったら0になる」なんて世界的ニュースになると思うんだけどｗ
Re:ルールはルールで上書きされる (スコア:2)
「あとよォ・・・『ゼロになる』なんて言わないんだぜ、数学の世界じゃ・・・・・
なぜなら『ゼロになる』って言った時にはすでに仮定は終っているからだッ！
『ゼロと定義した』なら使っていいッ！」
新人。プログラマレベルをポケモンで言うと、コラッタぐらい
Re:ルールはルールで上書きされる (スコア:1)
そのルールで上書きしてる実例が，この話の発端だと思いましたが。
Re:ルールはルールで上書きされる (スコア:1)
歴史的には、数学を、人工的なルール(公理系)と、そのルールから導き出される色んな結論に分けようという試みがありました。
どんな風にルールを決めても良く、色んな都合で色んなルールが作られたりもしてますが、 「普段、普通の用途に使うための数学」が「みんなが思ってる数学」とかけ離れてると不便なので、 それまでの数学の常識をなるべくそのまま表現出来そうなルールが注意深く作られ、それが使われています。
# 「戦争ゲーム」に、チェスとか将棋とか碁とかいろいろあるようなイメージ。
# 将棋は単純すぎて本物の戦争のシミュレーションには使えないけど、数学は凄く精密なので現実のできごとのシミュレートにまで使える。
それが、ZF公理系 [wikipedia.org]というルールで、特に何も言わなかったらこれを使おうね、という暗黙の了解があります。
そこに、「9/0=0」というルールを付け加えて、マイ数学を作る事は、数学界からは特には禁止されていません。 むしろ、勝手に付け加えたら何が起こるか、という議論までされていて、 大ざっぱに言うと、矛盾したルールを追加したマイ数学に基づくと、あらゆる式を正しいとみなせる、みたいなオチも付きます。
9/0=0
両辺に0をかけて (9/0)*0=0
左辺を約分して 9=0
両辺を9で割る 1=0
とか経由で、
1 + 1 = 0 + 0 = 0
1 + 1 = 0 + 1 = 1
1 + 1 = 2
1 + 1 = (1 + 1) + 0 = (1 + 1) + 1 = 3
などと、あらゆる計算の答えを好きな値に出来るようになりますので。
なので、「9/0=0」と教わった小学生はラッキーですよね。その先生の試験は、その先生のルールに基づいてるんでしょうから、答えに何を書いても正解になります。
# 何を書いても間違いとも言える
Re: (スコア:0)
実数の全体が「体」になるという話で、無限大と零除算を含めるように拡張するときに、環 (ring) じゃなくて、wheel (輪?) という体系になるように拡張するのなら、ちゃんと零除算ができる無矛盾な体系になるそうですよ。まあ、そうすると今度は零除算ができる代わりに、ほかに undefined と定める必要のある数の組がたくさん追加されることになるんですけど。
いずれにしても小学校の算数の段階で（あるいは受験数学レベルでも）、議論の背景にある論理体系や数学的構造なんかを意識することは皆無なので、そういったある意味形而上のことを意識しなければならないところに疑問を持つと、それなりに専門的に学ばないとできないし、学ぶ必要すら意識できないまま話を組み立てようとする人は、議論じゃなく妄想を始めてしまって、立派なトンデモになれます。
Re: (スコア:0)
C [wikipedia.org]さんも入れてやってくださいな。
Re: (スコア:0)
実際には上書きなんて出来ない、本当にその場限りのルールで、
学校を一歩出れば無効、学校を出なくても進級すれば無効、と無駄過ぎる。
不毛なので避けるべき、
Re: (スコア:0)
だから、ルール上の決めごととして説明するのであれば、それがどのレベルのルールなのかを懇切丁寧に説明しなければならない。
この例(9÷0=0と教えている小学校の例)でいえば、『この学校ではそういうルール』という次元でしか検討されていないだろうことが（話の経緯から）も推察できる。
それに対する適切な反論は「そんな学校レベルの『ルール』でお茶を濁すのは算数教育としては不適切だ」であるべき。
数学のルールを学校のローカルルールで上書きするような連中に対して、「数学ではそういうルールになっている」と言っても無駄(しかたない)だろ、ということ。
アレコレ踏まえたうえで『「円周率＝３」ということにしましょう」と言ってる奴に「３じゃないですよ」と言っても無駄なのと同じ。
Re: (スコア:0)
党が0と言えば0なのです
Re: (スコア:0)
そうでしたっけ？ ウフフ
Re: (スコア:0)
数学は公理系なので、すべからく全部ルールですよ。１＋１＝２ですら公理（厳密には 自然数の公理から導き出される定理ですが省きます）ですから。
もっとも、長い年月で妥当性を協議してきた妥当な公理ですから、それを上書きしたいのであれば、マイルールではなく地道に学会活動をして下さい。
それが実を結べば、公理系を書き換えることは可能です。
久しぶりに /.J で須らくを見たので (スコア:0)
揚げ足を取って申し訳ないが、数学には頭痛が痛い、のような定番の誤用ってあるのかな？この N ÷0 = 0 あたりは定番？
マイナスで引く、とかだと x - ( -y ) だから正しいか。
言葉は数学と違って、割と簡単に上書きされちゃいますからね。
Re: (スコア:0)
というか、そういう公理系もある（そしてたいてい暗黙の前提である）ということですね。ふと思ったのですが、「ルールだから」はけしからんと仰られている方々は「数学的に正しいこと＝一意に定まる絶対的に正しいこと」という勘違いをされているのではないでしょうか。この勘違い自体はありがちな気がしますが、誤りです。
「ルールだから」のルールは、もちろんZFCでもいいのですが、「一般的に数学（計算）といった場合はZFCの下での議論を暗黙の前提にしていること」がルールだと考えれば話が通りやすいと思います。
Re: (スコア:0)
「ルールだから」は閉口する。
∞も極限も的外れ。
その主張は分かりました。
では、あなたはどのような説明であれば納得するので？
Re:ルールはルールで上書きされる (スコア:1)
A÷Bを，A=BCとなるC，と定義した上で，9÷0=Cなら9=0Cだから，いやぁん。
Re:ルールはルールで上書きされる (スコア:1)
小学生の間は「それはできないのですが、その理由は中学生になってから教わります」としか教えようがない、ということですよね。
Re:ルールはルールで上書きされる (スコア:1)
あれ，小学校では割り算が掛け算の逆みたいな意味であることは教えないんでしたっけ？
Re:ルールはルールで上書きされる (スコア:1)
だいぶん昔のことなので朧ろですが、そういえば教わったような気もします。
「方程式の解が」と考えてたもので、そういうのは中学生になってからなのかなと。
Re: (スコア:0)
例えば「偶数同士の掛け算は0になる」みたいなルールで上書きして教えてる小学校があっても、仕方ないで済ます感じですか？
Re:ルールはルールで上書きされる (スコア:1)
ルールだから，と答えてる人ならそうなんじゃないでしょうか。
Re: (スコア:0)
なんかもう…
いや、いいや
Re: (スコア:0)
>> ルールだというなら「0でわったら0になる」というルールで上書きされても仕方ない。
全然違うよ．例えば「1+1は2」みたいな数学の基盤になってる概念は「定理」であって，学者でも無い者がそれを「証明」ベースで議論するのは無理だから「そう決まってる」「数学のルール」として覚えるしかない．「定理」ってのはそういうものであって，それを「ルールなんだから，1+1は3ってルールで上書きしてもいいよね」なんて話は有り得ない．
この「0で割る」ってのを「ルールだから」「そう決まってるから」っていう人はそういう「定理」と同じ認識でいるんだと思うけどね．
Re:ルールはルールで上書きされる (スコア:1)
たかが割り算の「検算」で検証できることなのに？
Re: (スコア:0)
まったくその通りですね。ルールです、と言われたら、ルールを変えればいいだけ。
法律などはそのようになっている。
ルールではなくて、論理的にそうなってしまう、と説明しないと、小学生は納得しません。
子供は意外と理屈っぽいんですよ。
割り算は、９÷３なら、(謎)×３＝９ 、と考えます。かけ算をして、答えは２だと分かる。
もし９÷０なら、(謎)×０＝９、となります。何に０を掛けても０のはず。矛盾しますね。
「よく分からないけど計算できない」というのが、小学生レベルでの正しい答えになります。
ここで、先生が「とても難しい話なので大学生になったら教わる」とでも教えればいい話。
更に、数学には不可思議な世界があることを物語としてちらっと触れてあげれば、興味持つ子も出るでしょう…。
Re: (スコア:0)
ルールを上書きした時点で，それは数学ではありません．
複素平面も，あれは拡張であって，上書きでは無いです．別の話でもありません．