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てのはともかく，実際これが証明されたとすると，現在の数学理論およびその応用にはどんなインパクトがあるんでしょうか? 「素数の分布を表す関数の値のもっとも精密な評価が得られる」と言われても，それで何が嬉しいの?(煽りじゃなしに)というのが私のような素人の感想でして． 本家では「Riemann予想は量子論や統計物理学にも影響する凄いものなんだ～ [slashdot.org]」なんてコメントもついてますが．どなたか解説していただけますか． ＃上記コメントの「Fermatの最終定理に比べて注目されないのは，その定義と重要性の理解が難しいからだ」てのにすばらしい洞察+1
素粒子の超紐理論で利用される公式だそうで、宇宙が26次元という根拠もこの-1/12に由来しているそうです。
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アレゲは一日にしてならず -- アレゲ見習い
証明の意義 (スコア:2, 興味深い)
てのはともかく，実際これが証明されたとすると，現在の数学理論およびその応用にはどんなインパクトがあるんでしょうか? 「素数の分布を表す関数の値のもっとも精密な評価が得られる」と言われても，それで何が嬉しいの?(煽りじゃなしに)というのが私のような素人の感想でして．
本家では「Riemann予想は量子論や統計物理学にも影響する凄いものなんだ～ [slashdot.org]」なんてコメントもついてますが．どなたか解説していただけますか．
＃上記コメントの「Fermatの最終定理に比べて注目されないのは，その定義と重要性の理解が難しいからだ」てのにすばらしい洞察+1
Re:証明の意義 (スコア:3, 参考になる)
ただ証明できたら、直ちにインパクトがあるか、というと、多くの人はこの仮説をほとんど自明と見なしていた、という点で、それほどでは無いかもしれません。
喉奥に魚の骨がひっかかったような、「リーマン仮説が正しいなら」という条件付きの証明は多いと思うので、これらがすっきりするという意味では大きな意義はあると思いますけど。
クレイの１００万ドルの賞金も、「リーマン仮説が正しいことを証明した人」が対象で、「正しくないこと」を証明した人は対象外です。それほど、正しいだろうことは確実視されていました。
なにしろ、力づくでコンピュータをぶんまわした結果、最初の250000000000個の非自明な０点は、リーマン仮説を満たしているのが判明しているのです。実は仮説が間違っている、という方が驚天動地でしょう。
Re:証明の意義 (スコア:5, 参考になる)
> の非自明な０点は、リーマン仮説を満たしているのが判明している
> のです。実は仮説が間違っている、という方が驚天動地でしょう。
ちょっと証明というものを軽視しすぎでは?
任意の自然数 x,y,z,w において x^4+y^4+z^4=w^4 は
解を持たないというオイラー予想には反例が見つかったわけで
(例えば 95800＾4 + 217519＾4 + 414560＾4 = 422481＾4)。
17世紀に 31, 331, 3331, 33331, 333331, 3333331, 33333331
が素数であることから、33333....1 は全て素数であると予想されて
いたけど、その後 333333331 は 17x19607843 であることが明らかに
なったし。
素数の出現頻度は大きい数になるほど減っていくため、出現頻度の
予測を示す式をガウスが作ったが、常に式の結果は実際の素数の
数より少し多い結果が出てしまう。この傾向はどんな大きな数
になっても続くのではないかという予想を「ガウスの過大評価
素数予想」と呼ぶが、実は
10^10^10000000000000000000000000000000000
近辺では予想式と実際の素数の数が逆転してしまう、とかいうのもあるし。
Re:証明の意義 (スコア:2, 参考になる)
※ 暗号が解読されやすくなったり、されにくくもなったりするのではありません。
素数分布の予想(Riemann予想が成立することを仮定すると証明できる)をもとに、様々な素数関連のアルゴリズムの計算量がどれだけかを評価したりできます。
これまでは、これらの評価は「予想」でしかなかったのが、Riemann予想が証明されると「予想」ではなく「証明」された事実になります。そういう意味で「厳密」ですね。Riemann予想が証明されなくても「精密」な評価「予想」はあります。
ちなみに、ワイルズの定理(もとフェルマ予想)よりはこちらの方がインパクトは大きいです。前者も重要ですが、どちらかというと前者の場合はそれを証明するために発展した膨大な数学の部分の方が重要で、定理自身は内容は理解しやすいですが、それを利用して何か別のことが出来るか、というとそんなことはありません。Riemann予想の方はそれを仮定すると様々な数学の「予想」が証明される訳で(暗号関係以外でも)、Riemann予想を証明するとそれらの「予想」を一遍に証明したことになる訳です。
ですから注目されない(の?本当に)理由は「定義の理解」の難しさだけですね。重要性のほうはどちらも多分理解されてません。少なくともRiemann予想のほうが理解しやすいはず。
Re:証明の意義 (スコア:1)
素数の分布や楕円関数に関連するとなると、暗号へ繋がるかなと想像します。ただし、予想が証明されてなくても関連性から素因数分解や素数の探索の方法として、手があれば既に研究されているでしょう。(が私は知らない。)
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Re:証明の意義 (スコア:2, 興味深い)
私もやっぱりよく理解してませんが、ガウスの素数定理も、これで証明できたと言うことでしょうか？
π（ｘ）～ｘ／ｌｏｇｘ （ｘ→∞）
π（ｘ）はｘ以下の素数の個数
ってことで、「素数の密度は、ずっと一定」と証明されたんだろう、と思いました。もし、リーマン予想はハズレで素数の密度には偏りがあるのだ、ということだったら、RSAとかの暗号の脆弱性を見つけたことになると思いますが（素数を探しやすくなるので）、この証明はその逆なので、今までリーマン予想を前提に言われていた暗号の強さが、実際に証明されましたよ、ということになるんでしょうかね。
自信があんまりなくてすみませんが。
Re:証明の意義 (スコア:0)
Re:証明の意義 (スコア:0)
Re:証明の意義 (スコア:1)
ここに関連ありそうなページ：「ゼータ関数の零点分布と量子カオス」 [miyagi.jp]置いておきますね。
Re:証明の意義 (スコア:1)
おっしゃる通りです．ご指摘有り難うございます．
Re:証明の意義 (スコア:1)
御指摘ありがとうございます。記事に反映しました。
Re:証明の意義 (スコア:0)
素因数分解の困難さに基づく暗号で脆弱な鍵が増えるという事でないの？
ところで、辞書片手に読んでる最中なのだけど、
予想が成り立つと証明されたの？成り立たないと証明されたの？
どっち？
Re:証明の意義 (スコア:0)
自明といわれても・・ (スコア:0)
Re:自明といわれても・・ (スコア:1)
1+2+3+・・・+∞ = (スコア:1)
素粒子の超紐理論で利用される公式だそうで、宇宙が26次元という根拠もこの-1/12に由来しているそうです。
Re:自明といわれても・・ (スコア:0)
1/n^sの無限和表示ってのはsの実数部が1以下の場合は発散してしまいます．
だから解析接続をして実数部が1以下のところまで拡張するのです．
Re:自明といわれても・・ (スコア:0)
> 1/n^sの無限和表示ってのはsの実数部が1以下の場合は発散してしまいます．
> だから解析接続をして実数部が1以下のところまで拡張するのです．
この説明で理解できると思えるの？
Re:自明といわれても・・ (スコア:1)
Re:自明といわれても・・ (スコア:1)
Kiyotan
Re:自明といわれても・・ (スコア:0)
参考：
http://www.google.com/search?q=%E8%A7%A3%E6%9E%90%E6%8E%A5%E7%B6%9A+Rieman+Zeta&hl=ja&ie=UTF-8&c2coff=1
Re:証明の意義 (スコア:0)
リーマン予想は統一理論に当たるようですな。