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13740908 journal
数学

minetの日記: sinθ=1/xのときのcosθの近似式 で遊んでみる 7

日記 by minet

yasuoka先生の日記に刺激を受けたので、頭の体操をしてみた。

cosθ = 127/128 のとき、 sinθ ≒ 1/8 であるらしい。

これを逆に、sinから導いてみる。

sinθ = 1/x としたとき
cosθ = √(1 - 1/x2) = 1 - 1/(2x2) - 1/(8x4) - …

と展開できるから、後ろの項はxが大きいとき(θが0に近いとき)急激に小さくなるので、第2項までで展開を打ち切ると、

cosθ ≒ 1 - 1/(2x2) = (2x2 - 1)/(2x2)

と近似できる。
よって

sinθ = 1/8 のとき、 cosθ ≒ 1 - 1/128 = 127/128

となり、yasuoka先生の近似と同じ値が得られた。

これだけで終わってはつまらない。

第3項まで展開した場合の近似式

cosθ ≒ 1 - 1/(2x2) - 1/(8x4)
= 1 - ((4x2 + 1)/(8x4))

をもうちょっと工夫して、精度と速度を両立できないか考えてみる。

適当にθを代入してみると

sinθ = 1/8 のとき、 cosθ ≒ 1 - (257 / 32768)
sinθ = 1/10 のとき、 cosθ ≒ 1 - (401 / 80000)

なのだが、これを具体的に計算してみると、なにやら、半整数の逆数に近い値が現れてくる。

1 - (257 / 32768) ≒ 1 - (1 / 127.5) ??
1 - (401 / 80000) ≒ 1 - (1 / 199.5) ??

といった具合だ。

これはどういうことかと言うと、
分母が大きければ、分母の値がちょっとだけ変わっても大差はない、と言うことは、

1 - ((4x2 + 1) / (8x4))
≒ 1 - ((4x2 + 1) / (8x4 - 0.5))

のように、分母をちょっと改善(改悪?)してやれば、

1 - ((4x2 + 1) / (8x4 - 0.5))
= 1 - (2 / (4x2 - 1))
= 1 - (1 / (2x2 - 0.5))

てな具合に整理できて、半整数の逆数が現れるわけだ。

ということは、

sinθ = 1/x のとき、
cosθ ≒ 1 - 1/(2x2 - 0.5)
= (4x2 - 2) / (4x2 - 1)

具体的には

sinθ = 1/8 のとき、 cosθ ≒ 1 - 1/127.5 = 253/255
sinθ = 1/10 のとき、 cosθ ≒ 1 - 1/199.5 = 397/399

てな具合に、良い感じに近似できる。

乗算除算がまともに扱えるCPUなら使えるテクかもしれない?
(とは言え、それが許される環境なら、もうFPUを使っても良い気がする。)

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typodupeerror

計算機科学者とは、壊れていないものを修理する人々のことである

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