taggaの日記： おお、この問題は感動的だ 20
I have two children, one of whom is a son born on a Tuesday. What is the probability that I have two boys?
直感に反するので、感動的に混乱しますね。とりあえず高校範囲で解いておきましょう。
問題: 2人子どもがいて、片方は火曜日生まれで男の子である。2人とも男の子の確率は?
等確率となる根元事象として、 性と曜日を結びつけたものを、生まれた順に並べる対を使ってみます。 〈男火, 男[日-土]〉 が 7個、〈男[^火], 男火〉 が 6個、 〈男火、女[日-土]〉 が 7個、〈女[日-土], 男火〉 が 7個のうちの、 最初の 2つのタイプだから、(7 + 6) / (7 + 6 + 7 + 7) = 13/27。
本家でも下の 2つと混同している人がいるようです。 無駄ですが、比較のために上と同じような根元事象をとってみます。
類問: 2人子どもがいて、年長の子が男の子
〈男[日-土], 男[日-土]〉が 49個, 〈男[日-土], 女[日-土]〉 が 49個のうちの 〈男[日-土], 男[日-土]〉 の 49個なので、 49/(49 + 49) = 1/2。
類問: 2人子どもがいて、片方が男の子である。2人とも男の子の確率は?
〈男[日-土], 男[日-土]〉が 49個, 〈男[日-土], 女[日-土]〉が 49個, 〈女[日-土], 男[日-土]〉 が 49個 のうちの 〈男[日-土], 男[日-土]〉 の 49個なので、 49/(49 + 49 + 49) = 1/3。
;; これから週後半のしんどいモードに突入なので、日記に書いて逃げる。
;; [21h50付記] おっちゃん、余裕ないから、タレコミの方で遊んでね。 やっつけだけど、おまけにシミュレーションつけたげるから。
<html>
<body>
<script>
var times = 4 * 49 * 1000;
var numerator = 0;
var denominator = 0;
var senior = { sex: 0, day: 0};
var junior = { sex: 0, day: 0};
// 0 = Male, 1 = Female.
function set_sex(obj) {
obj.sex = Math.floor(Math.random() * 2);
}
// 0 = Sun, 1 = Mon, 2 = Tue, ...
function set_day(obj) {
obj.day = Math.floor(Math.random() * 7);
}
function is_the_case() {
return ((senior.sex == 0 && senior.day == 2) || (junior.sex == 0 && junior.day == 2));
}
function are_both_male() {
return (senior.sex == 0 && junior.sex == 0);
}
function one_trial() {
set_sex(senior); set_day(senior);
set_sex(junior); set_day(junior);
if (is_the_case()) {
denominator++;
if (are_both_male()) {
numerator++;
}
}
}
// the main loop
for (var i = 0; i < times; i++) {
one_trial();
}
alert(numerator + "/" + denominator + " = " + (numerator/denominator)
+ " (expected: " + 13/27 + ")");
</script>
</body>
</html>
大変だ・・・ (スコア:1)
姉をもつ弟なので、自分の誕生曜日が心配になってきました。
Re: (スコア:0)
>〈男[^火], 男[^火]〉や〈男[^火], 女[日-土]〉や〈女[日-土], 男[^火]〉や〈女[日-土], 女[日-土]〉は存在し得ないんでしょうか？
それらは「2人子どもがいて、片方は火曜日生まれで男の子」という確定された前提条件に反しますので、考慮しなくてよろしいかと。
Re:大変だ・・・ (スコア:1)
この問題文だと第二子の条件は「無条件」、「火曜生まれでないか、男の子でない」、「火曜生まれでなく男の子でもない」の三通りに解釈できる。
てわけでこれは問題文になってない。「片方だけが火曜生まれかつ男の子」くらい書かなきゃ。
Re:大変だ・・・ (スコア:1)
>「片方だけが火曜生まれかつ男の子」くらい書かなきゃ。
問題文の条件は，「少なくとも片方は火曜生まれかつ男の子」だとおもいますが．
#でないと例示されている確率にならない．
つまり，二人組のうち「片方は火曜生まれの男」，もう一方は「制限なし」でないと．
つまり「二人とも火曜生まれかつ二人とも男」も許容されています．
Re:大変だ・・・ (スコア:1)
＞「少なくとも片方は火曜生まれかつ男の子」
そう書かれていればどちらかあるいは両方だね。
すると、例示されてる問題文は「片方は」と言って一人目の属性を述べているので属性を述べられた仮の片方は確定され、結局、問題文は「二人居て片方は火曜生まれの男の子。もう一方の性別は？」と解釈される。
となると曖昧どころの話じゃなくて、大嘘じゃん。
Re:大変だ・・・ (スコア:1)
>結局、問題文は「二人居て片方は火曜生まれの男の子。もう一方の性別は？」と解釈される。
日本語的に誤解の少ないように書くと，くどい文章になりますが
「ある二人組が存在し，そのうち少なくとも一方は火曜生まれの男．その場合，もう一方が男である確率は？ただし2人組を作る際に，男女の何れかおよび誕生日の曜日の選択に関しては完全にランダムであるとする」
ですかね．この場合，もう一方が男である確率は示されたように13/27ですね．
>となると曖昧どころの話じゃなくて、大嘘じゃん。
この部分がちょっとわかりませんが．ええと，大嘘というのは，誰の何に対してなのでしょうか？
すいません，やっと理解できました (スコア:1)
>この部分がちょっとわかりませんが
と書いた後に，dodaさんの#1788277 [srad.jp]のコメントを読んでやっと理解できました．
なるほど，確かに，曖昧さが問題文の不備になりますね．やっと理解できました．
書かれていない条件を仮定していませんか? (スコア:1)
自分も最初は 13/27 だと思いました。
ですが、問題文が曖昧な為、解釈によっては別の答(1/2、場合によっては1/3)も有りえませんでしょうか。
この片方の選び方を、火曜生まれの男の子を狙って選んだとしたら確率は 13/27 になります。
しかし選び方がランダムで、選んだ方がたまたま火曜生まれの男の子だったとすると、この場合の確率は前者と違い 1/2 になります。
# モンティホール問題で、ハズレを選んで開けた場合と、ランダムに開けた結果ハズレだった場合とで確率が違うように。 [srad.jp]
このランダムに選んだ場合でも、元の
という条件とは矛盾しないですよね。
# モンティホール問題では選び方がルールとして決まっているが、この問題では選び方が決められていない
火曜生まれの男の子を狙って選ぶ問題の場合、通常は
という条件で書くと思いますが、この問題を知っていたため無意識の内に条件に"少なくとも"を追加してしまっていませんか?
タレコミや#1788234 [srad.jp]も"少なくとも"を追加してしまっていますね。
# などと偉そうな事書いていますが、自分も引っかかり、元ネタ [sciencenews.org]の後半部分を読んで気が付きました
Re: (スコア:0)
この問題の書き方だと、片方をまず選んでその片方の誕生曜日と性別がたまたま火曜と男だったように読める。
なので、類題とされている「年長の子は男の子」と同じ答えになる。
火曜日は私のラッキーデーだ (スコア:0)
「『お前が火曜日に生まれなければ確率が変わったのに！』というわけではないよな」と思ったらとたんにストンと納得できました。
面白いもんですね。
それ以前の問題として (スコア:0)
男女の出生比率をどう仮定した上の出題ですかこれ？
五分五分で近似するというならそう明記しないと数学にならないと思うんだけど。
Re:それ以前の問題として (スコア:1)
曜日に関しても、休日よりも平日の方が出産数が多いという話がありますね。
平成17年度「出生に関する統計」の概況 [mhlw.go.jp]
ただ、それぞれ 1/2, 1/7 と仮定してしまってもいいのではないでしょうか。
この問題の肝は“直感に反し、出生比率がそのまま出てくるわけでは無い(場合もある)”という部分に有るので。
2人子どもがいて、片方が男の子である。2人とも男の子の確率は? (スコア:0)
あれ？ (スコア:0)
片方が男であるのは決まっているので、もう片方の性別は男か女の２択しかないので、50%・・・
＃違うの（？）
Re:あれ？ (スコア:1, 参考になる)
>違うの（？）
違いますよ。
条件付きで出してる段階で、抜き取るための確率の濃縮/希釈が入っちゃいますので。
例えば、
「ある二人組がいて、右側に居るのは男だった。左側にいるのが男の確率は？」
という場合は、右側がどうこう、というのが左側に影響しませんので男女比1:1（世の中の男女比が1:1だとしてください）になりますが、一方、
「二人組がいて、一方は男だった。もう一方が男の確率は？」
という問題だった場合、
・「左が男、右が女」という組に対しては左を指して「一方は男だった」と言う（さて、もう一方は？）
・「左が女、右が男」という組に対しては右を指して「一方は男だった」と言う（さて、もう一方は？）
・「左も右も男」という組に対しては任意の方をさして「一方は男だった」と言う（さて、もう一方は？）
・「左も右も女」という組に対しては、とりあえず無視（前提条件に合わないから）
という過程になります。つまり、二人組の中から、あらかじめ「男である」方を選択的にまず選んで抜き取ってしまい、そのうえで「もう一方は？」と聞いていることになるわけですので、もう一方が男である確率は希釈されて（完全にランダムな1/2より）減っているわけです。
今回のもまあそれと似たようなもので、
1. 「任意の組み合わせの二人組」の集合から、「火曜生まれの男」を最低1人含む組のみをまず取り出し、考察対象とする。
2. （考察対象の組）＝（「火曜生まれの男」+ もう一人）というペアから、「火曜生まれの男」を取り除いたとき、ペアのもう一人が男である確率は？
と問うているわけです。任意のペアのランダムな一人は男である確率も女である確率も等しいわけですが、そこから「火曜生まれの男」というものを（一部）取り除いてしまうわけですので、残りの集団は男である確率は若干少なくなっている、というわけです。
Re:あれ？ (スコア:1)
面白いですね。#1788188 [srad.jp]の説明読んで分かったような気がするのですが、直感的にはまだ今ひとつ。
子供が二人、一人が女の時、もう一人が男である確率は2/3。
子供が二人、右が女の時、もう一人が男である確率は1/2。
子供が二人、一人が男の時、もう一人が男である確率は1/3。
コイントス10回連続して表だった時、11回目に表がでる確率は1/2。
子供が11人いて、10人が男である時、残りの一人が男である確率は....分からんけど、1/2より低くなるのかな。
条件付き確率？の時は独立に見えても独立ではないということなのかな。
Re: (スコア:0)
子供が11人いて、（少なくとも）10人が男である場合というのは、
(i) 11人のうち10人が男で、1人だけが女
(ii) 11人全部が男
の2つのケースが該当します。
このうち(i)は、一人目が女のケース、二人目が……という具合に11通りのケースがあります(a)。
(ii)に関しては、1通りのケースのみが存在します(b)。
(a)、(b)より、男女比が完全に1:1のランダム系であるなら、(i)のケースは、(ii)のケースの11倍起こりやすいことになります(c)。
ところがここで、「11人から男10人
類門２も1/2では (スコア:0)
> 類問: 2人子どもがいて、片方が男の子である。2人とも男の子の確率は?
>〈男[日-土], 男[日-土]〉が 49個, 〈男[日-土], 女[日-土]〉が 49個, 〈女[日-土], 男[日-土]〉 が 49個 のうちの
>〈男[日-土], 男[日-土]〉 の 49個なので、 49/(49 + 49 + 49) = 1/3。
＜男 男＞では順列を気にしてない（組み合わせ）のに、＜男 女＞では順列（姉・弟と兄・妹を区別している）になってませんか。
Re: (スコア:0)
>＜男 男＞では順列を気にしてない（組み合わせ）のに
気にしていないのではなく、気にしてもあれしか残りません。
「片方が男の子である」なら両方が男である可能性は0 (スコア:0)
「すくなくとも片方は男である」といった表現が必要